5.

Según el texto cómo nacieron los conjuntos numéricos, describir uno a uno.

El estudio de los conjuntos numéricos y su formalización, dentro de la Aritmética y Álgebra elementales, constituye uno de los apartados más importantes para la posterior construcción del “edificio matemático”. Pero no fue hasta el s. XVIII en adelante cuando se produjo un intento de fundamentación lógico-matemática de todos los conjuntos numéricos conocidos por el hombre

Los números enteros:

El concepto de número natural se pierde en la antigüedad, y está estrechamente ligado a la naturaleza y actividades Matemáticamente, existen varias vías para su construcción: una axiomática, vía seguida por el Matemático Peano en el siglo XIX y y otra conjuntista, a través de la noción de “cardinal” y de la relación de “coordinabilidad” 

La Axiomática de Peano, no se ocupan del significado de "número natural", sino que lo suponen y pretenden encontrar un sistema simple de axiomas que caractericen los números naturales y nos permitan deducir a partir de estos, todas las propiedades de los números naturales, utilizando las reglas de la lógica

Los cinco axiomas de Peano son:

1. El 1 es un número natural.

2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.

3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.

4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

5. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.

Punto de vista algebraico: N es un semianillo abeliano con unidad, con la suma y el producto habituales, ordenado totalmente. Pero hay un problema en N: únicamente podemos “restar” en caso de que el minuendo sea mayor que el sustraendo, o sea, x + b = a admite solución solo si a>b. Necesitamos pues otro conjunto numérico que extienda a N y en el que si exista solución a dicho problema

Los números enteros:

El hombre se percató de la necesidad de expresar las cantidades de magnitudes que presentaban un doble sentido: uno positivo, otro negativo, dentro de un sistema de medida, las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en oriente (China), y no llega hasta occidente hasta el siglo XVI, la formalización de los números enteros es mucho más artificial que la de los racionales, de modo que a lo largo de la Historia no fue hasta el s. XVI cuando apareció, hubo que esperar al s .XIX para que Weierstrass diera el modelo de los números enteros, definiéndolos como clases de pares de naturales mediante una relación de equivalencia obvia que permitía la “resta” de naturales.

Las fracciones y los números racionales:

El conjunto es incompleto: existen conjuntos no vacíos acotados superiormente cuyo supremo no pertenece a Q. Motivo por el cual habremos de ampliar aún dicho cuerpo a otro que lo contenga y de solución a dicho problema, siendo completo. Existen dos géneros de razones que nos llevan a generalizar el concepto de número entero al de racional: el problema de la medida y su expresión numérica

Para el primero de ellos: es decir una cantidad de medida, basta indicar el número “m” de unidades que contiene, y la especie de estas unidades, o sea, el número “n” en que se divide el todo. Lo que representaremos por la fracción “m/n”, siendo “m” el numerador y “n” el denominador.

Para el segundo de ellos: construimos el conjunto Q de los números racionales, Q, con la suma y producto definidos, es un cuerpo conmutativo, ordenado y arquimediano

Números reales:

Fue en el año 1872 cuando cinco matemáticos, dieron con la definición formal de número real y la definición axiomática, en la antigua Grecia los llamaban “incomensurables” y nosotros hoy día llamamos “números irracionales”3. Números que como su nombre indica, no pueden expresarse como una fracción. El origen de los números reales es más sencillo: Q es un cuerpo incompleto, necesitamos de otros números para representar ciertas medidas y magnitudes “no racionales”.

Estos números formaban una categoría más bien imprecisa, debido a que los sistemas de numeración de la época no resultaban ser los más adecuados.

Números complejos:

El primero en introducir los números complejos es Cardano, que en año 1545 publica su obra Ars Magna, en la que explica cómo resolver los diferentes casos de ecuaciones cuadráticas y cúbicas

Surge de una necesidad puramente algebraica, para la resolución de ecuaciones. Si bien el desarrollo de la “Teoría de Números Complejos” y la “Teoría de Funciones Complejas” tienen en la actualidad numerosas aplicaciones en la Física y la Ingeniería y es fundamental en la teoría cuántica del átomo; en el diseño de alas de avión.

El primer gran paso hacia la instalación definitiva de los números complejos en la matemática se debe a Euler (1707–1783). Este hizo una cosa muy sencilla, y al mismo tiempo de un enorme alcance: definió un nuevo número, al que llamo i (imaginario): De él afirmo que no era ni mayor, ni menor, ni igual a ningún número real, y definió las reglas de suma y multiplicación de este numero que hoy conocemos. En particular la conocida i2 = −1.

Otras ampliaciones: cuaterniones

Estos números surgieron en un intento de generalizar los números complejos en la misma dirección de ideas y propiedades que los anteriores conjuntos de números. Los cuaterniones fueron descubiertos por Hamilton en 1843 buscaba formas de extender los números complejos un número mayor de dimensiones. No pudo hacerlo para 3 dimensiones, pero para 4 dimensiones obtuvo los cuaterniones. las limitadas aplicaciones de los cuaternios está la de describir bien las rotaciones en los espacios euclídeos de tres y cuatro dimensiones. Del mismo modo que los números reales y los complejos constituyen espacios vectoriales euclídeos de dimensiones uno y dos, respectivamente, los cuaternios

forman un espacio vectorial euclídeo de dimensión cuatro.